变上限积分定理

柯西积分定理实际给出积分与路径无关的充分条件

如果 $f (z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则沿区域 $D$ 内简单曲线 $C$ 的积分只与 $C$ 的起点和终点有关，而与路径无关

\int_{z_{0}}^{z} f (z) d z

变上限积分： $f (z)$ 是单连通区域 D 内的解析函数，则由变上限的积分所确定的函数 $F (z)$ 也是 $D$ 内的解析函数，并称 $F (z)$ 为 $f (z)$ 的原函数

\begin{array}{r} F (z) = \int_{z_{0}}^{z} f (ζ) d ζ F^{'} (z) = f (z) \end{array}

解析函数变限积分的解法类似于实变函数

原函数之间的关系：任意两个原函数相差一个常数，如果 $G (z)$ 为 $f (z)$ 的一个原函数，则有：

\begin{aligned} F (z) & = G (z) + C \end{aligned}

不定积分：

\begin{array}{r} \int f (z) d z = F (z) + C \end{array}

定积分：

\begin{aligned} \int_{z_{0}}^{z_{1}} f (z) d z & = G (z_{1}) - G (z_{0}) \end{aligned}

类似于牛顿莱布尼茨公式的计算，参考换元积分法（凑微分，分部积分法）

Note

注意定理应用条件，在积分区域内解析，首先要判断被积函数的奇点